বিশ্লেষণ গণিত

বিশ্লেষণের ইতিহাস

গ্রীকরা অবিচ্ছিন্ন মাত্রার মুখোমুখি হয়

বিশ্লেষণ গণিতের সেই অংশগুলি নিয়ে গঠিত যেখানে ক্রমাগত পরিবর্তন গুরুত্বপূর্ণ। এর মধ্যে রয়েছে গতি অধ্যয়ন এবং মসৃণ বক্ররেখা এবং উপরিভাগের জ্যামিতি particular বিশেষত স্পর্শকাতর অঞ্চল, অঞ্চল এবং আয়তনের গণনা। প্রাচীন গ্রীক গণিতবিদরা বিশ্লেষণের তত্ত্ব এবং অনুশীলন উভয় ক্ষেত্রেই দুর্দান্ত অগ্রগতি করেছিলেন। তাত্ত্বিকতা অযৌক্তিক মাপের পাইথাগোরিয়ান আবিষ্কার এবং প্রায় জেনোর প্যারাডক্সের প্রায় 450 বিস দ্বারা তাদের কাছ থেকে প্রায় 500 বিকেলে বাধ্য করা হয়েছিল।

পাইথাগোরিয়ান এবং অযৌক্তিক সংখ্যা

প্রাথমিকভাবে, পাইথাগোরিয়ানরা বিশ্বাস করতেন যে সমস্ত কিছু পৃথক পৃথক প্রাকৃতিক সংখ্যা দ্বারা পরিমাপ করা যায় (1, 2, 3, ।) এবং তাদের অনুপাত (সাধারণ ভগ্নাংশ বা যৌক্তিক সংখ্যা) এই বিশ্বাসটি কাঁপানো হয়েছিল, তবে আবিষ্কারের মাধ্যমে যে একক বর্গের তির্যক (অর্থাৎ একটি বর্গ যার পক্ষের দৈর্ঘ্য 1) যুক্তিযুক্ত সংখ্যা হিসাবে প্রকাশ করা যায় না। এই আবিষ্কারটি তাদের পাইথাগোরিয়ান উপপাদ্য দ্বারা নিয়ে এসেছিল, যা প্রতিষ্ঠিত করেছিল যে ডান ত্রিভুজের অনুমানের উপরের বর্গক্ষেত্রটি অন্য দুটি পক্ষের বর্গক্ষেত্রের সমান modern আধুনিক স্বরলিপিতে, সি ² = a ² + বি ² । একক বর্গক্ষেত্রে, তির্যকটি একটি ডান ত্রিভুজের অনুভূত হয়, পাশের a = b = 1; অতএব, এর পরিমাপটি একটি অযৌক্তিক সংখ্যা 2 এর স্কোয়ার রুট। নিজস্ব উদ্দেশ্যগুলির বিরুদ্ধে, পাইথাগোরিয়ানরা এর মাধ্যমে দেখিয়ে দিয়েছিলেন যে যৌক্তিক সংখ্যা এমনকি সাধারণ জ্যামিতিক বস্তুও পরিমাপ করার জন্য যথেষ্ট নয়। (সাইডবার দেখুন: অসম্পূর্ণযোগ্য।) তাদের প্রতিক্রিয়াটি ছিল ইউক্লিডের উপাদানগুলির দ্বিতীয় বইয়ের (সি। 300 ব্রেস) পাওয়া লাইন বিভাগগুলির একটি গাণিতিক তৈরি করার জন্য, এতে যুক্তিযুক্ত সংখ্যার জ্যামিতিক ব্যাখ্যা অন্তর্ভুক্ত ছিল। গ্রীকদের জন্য, লাইন বিভাগগুলি সংখ্যার চেয়ে বেশি সাধারণ ছিল, কারণ এগুলিতে ধারাবাহিক এবং পৃথক পৃথকতা অন্তর্ভুক্ত ছিল।

প্রকৃতপক্ষে, 2 এর স্কোয়ার রুটটি কেবল অসীম প্রক্রিয়াটির মাধ্যমে যুক্তি সংখ্যার সাথে সম্পর্কিত হতে পারে। এটি ইউক্লিড উপলব্ধি করেছিলেন, যিনি যৌক্তিক সংখ্যা এবং লাইন উভয় বিভাগের পাটিগণিত অধ্যয়ন করেছিলেন। তাঁর বিখ্যাত ইউক্লিডিয়ান অ্যালগরিদম, যখন এক জোড়া প্রাকৃতিক সংখ্যার জন্য প্রয়োগ করা হয়, তখন তাদের সর্বাধিক সাধারণ বিভাজকের দিকে সীমাবদ্ধ পদক্ষেপ নিয়ে যায়। তবে, যখন 2 এবং 1 এর স্কোয়ার রুটের মতো অযৌক্তিক অনুপাত সহ এক জোড়া লাইন বিভাগগুলিতে প্রয়োগ করা হয় তখন এটি শেষ করতে ব্যর্থ হয়। ইউক্লিড এমনকি এই অবিচ্ছিন্ন সম্পত্তিটিকে অযৌক্তিকতার জন্য মাপদণ্ড হিসাবে ব্যবহার করে। সুতরাং, অযৌক্তিকতা সংখ্যার গ্রীক ধারণাকে চ্যালেঞ্জ জানিয়েছিল যে তারা অসীম প্রক্রিয়াগুলি মোকাবেলায় জোর করে।

জেনোর প্যারাডক্স এবং গতির ধারণা

২২-এর স্কোয়ার রুট যেমন গ্রীকদের সংখ্যার ধারণার পক্ষে একটি চ্যালেঞ্জ ছিল তেমনি জেনোর প্যারাডক্সগুলি তাদের গতি ধারণার জন্য একটি চ্যালেঞ্জ ছিল। অ্যারিস্টটল তার পদার্থবিজ্ঞানে (সি। 350 বিএসসি) জেনোর উদ্ধৃতি দিয়ে বলেছেন:

কোনও গতি নেই কারণ যা সরানো হয়েছে অবশ্যই শেষের দিকে আসার আগে অবশ্যই [অবশ্যই] মাঝখানে পৌঁছে যেতে হবে।

জেনোর যুক্তিগুলি কেবল অ্যারিস্টটলের মাধ্যমেই জানা যায়, যিনি মূলত তাদের খণ্ডন করার জন্য তাদের উদ্ধৃতি দিয়েছিলেন। সম্ভবত, জেনো বোঝাতে চেয়েছিল যে, যে কোনও জায়গায় যেতে প্রথমে একজনকে অবশ্যই অর্ধেক পথ যেতে হবে এবং সেই চতুর্থাংশের আগে এবং পথের এক-চতুর্থাংশ আগে before যেহেতু দূরত্বের এই প্রক্রিয়াটি অনন্তের দিকে চলে যাবে (এমন একটি ধারণা যা গ্রীকরা সম্ভব হিসাবে গ্রহণ করবে না), জেনো দাবি করেছিলেন যে "বাস্তবায়ন" পরিবর্তনহীন অস্তিত্ব নিয়ে গঠিত। তবুও, তাদের অনন্ত ঘৃণা সত্ত্বেও, গ্রীকরা দেখতে পেল যে ধারণাটি অবিচ্ছিন্ন মাত্রার গণিতে অপরিহার্য। সুতরাং তারা অনন্ত সম্পর্কে যথাসম্ভব চূড়ান্তভাবে যুক্তি দিয়েছিল, যৌক্তিক কাঠামোতে অনুপাতের তত্ত্ব এবং ক্লান্তির পদ্ধতিটি ব্যবহার করে।

অনুপাতের তত্ত্বটি ইউডক্সাস প্রায় 350 বিএসসি তৈরি করেছিলেন এবং ইউক্লিডের উপাদানগুলির পুস্তক ভিতে সংরক্ষণ করেছিলেন। এটি যৌক্তিক দৈর্ঘ্য এবং স্বেচ্ছাসেবী দৈর্ঘ্যের মধ্যে একটি সঠিক সম্পর্ক স্থাপন করে দুটি মাত্রা সমান হিসাবে সংজ্ঞায়িত করে যদি তাদের তুলনায় যৌক্তিক চৌম্বকগুলি কম হয়। অন্য কথায়, যদি উভয়ের মধ্যে কঠোরভাবে যৌক্তিক মাত্রা থাকে তবে দুটি মাত্রা আলাদা ছিল। এই সংজ্ঞাটি দুই সহস্রাব্দের জন্য গণিতবিদদের পরিবেশন করেছিল এবং উনিশ শতকে বিশ্লেষণের পাটিগণিতের পথ সুগম করেছেন, যেখানে নির্বিচার সংখ্যার ভিত্তিতে স্বেচ্ছাচারিত সংখ্যাগুলি কঠোরভাবে সংজ্ঞায়িত করা হয়েছিল। অনুপাতের তত্ত্বটি সীমাবদ্ধতার ধারণার প্রথম কঠোর চিকিত্সা ছিল, এটি একটি ধারণা যা আধুনিক বিশ্লেষণের মূল বিষয়। আধুনিক কথায়, ইউডক্সাসের তত্ত্বটি স্বেচ্ছাসেবী আকারকে যুক্তিযুক্ত দৈর্ঘ্যের সীমা হিসাবে সংজ্ঞায়িত করেছিল, এবং পরিমাপের যোগফল, পার্থক্য এবং পরিমাণ সম্পর্কে মৌলিক উপপাদ্যগুলি সীমা, পার্থক্য এবং সীমাটির গুণমান সম্পর্কে তত্ত্বগুলির সমতুল্য ছিল।