রাইমান হাইপোথিসিস, সংখ্যার তত্ত্বে, জার্মান গণিতবিদ বার্নহার্ড রিমানের হাইপোথিসিসটি রিমান জেটা ফাংশনের সমাধানের অবস্থান সম্পর্কিত, যা মূল সংখ্যার উপপাদ্যের সাথে সংযুক্ত এবং মূল সংখ্যা বিতরণের ক্ষেত্রে গুরুত্বপূর্ণ প্রভাব ফেলে। রিমন একটি গবেষণাপত্রের মধ্যে এই অনুমানকে অন্তর্ভুক্ত করেছিলেন, "উবার ডাই আনজাহেল ডের প্রাইমজাহলেন আনটার আইনার গেজবেনেন গ্রাস" ("প্রাইম নাম্বার সংখ্যার তুলনায় একটি কম পরিমাণে"), মোনটসবারিচটে ডার বার্লিনার আকাদেমির নভেম্বর 1859 সংস্করণে প্রকাশিত ("মাসিক পর্যালোচনা" বার্লিন একাডেমির ")।
জিটা ফাংশন অসীম সিরিজের ζ হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা হয় (গুলি) = 1 +2 -s +3 -s +4 -s + + ⋯, বা, আরো কম্প্যাক্ট স্বরলিপি, , যেখানে n এর পদগুলির সংমিশ্রণ (Σ) ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যার এবং s এর মাধ্যমে 1 থেকে অনন্তের দিকে চলে 1. একটি স্থিত ইতিবাচক পূর্ণসংখ্য 1 এর চেয়ে বড় z জিতা ফাংশনটি প্রথম 18 তম শতাব্দীতে সুইস গণিতবিদ লিওনার্ড ইউলার দ্বারা অধ্যয়ন করা হয়েছিল। (এই কারণে একে কখনও কখনও অয়লার জিতা ফাংশন বলা হয়। ζ (1) এর জন্য, এই সিরিজটি কেবল সুরেলা সিরিজ, যা প্রাচীনত্বকে আবদ্ধ না করে বৃদ্ধি করার জন্য পরিচিত — অর্থাত্ এর যোগফল অসীম)) ইউরর তাত্ক্ষণিক খ্যাতি অর্জন করেছিলেন যখন তিনি 1735 সালে প্রমাণ ζ (2) = π 2 /6, কোন সমস্যা আছে যা যুগের সর্বশ্রেষ্ঠ গণিতবিদ, সুইস বের্নুলির পরিবার (জ্যাকব, জোহান, এবং ড্যানিয়েল) সহ eluded ছিল। আরও সাধারণভাবে, অয়লার আবিষ্কার করেছেন (1739) এমনকি পূর্ণসংখ্যার জন্য জেটা ফাংশনের মান এবং বার্নোল্লি সংখ্যাগুলির মধ্যে একটি সম্পর্ক, যা এক্স / (ই x - 1) এর টেলর সিরিজের সম্প্রসারণের সহগ রয়েছে । (এছাড়াও ঘৃণ্য ফাংশনটিও দেখুন Still) আরও আশ্চর্যজনক, ১37 in37 সালে অয়লার জিতা ফাংশন সম্পর্কিত একটি সূত্র আবিষ্কার করেছিলেন, যার মধ্যে পজিটিভ সংখ্যাসূচক পদগুলির অসীম অনুক্রমের সংমিশ্রণ এবং প্রতিটি মৌলিক সংখ্যার সাথে যুক্ত একটি অসীম পণ্য:
রিমন জেটা ফাংশনের অধ্যয়নকে জটিল সংখ্যার x + iy অন্তর্ভুক্ত করার জন্য প্রসারিত করেছিল, যেখানে i = স্কোয়ারের রুট√√ √ 1, জটিল প্লেনে x = 1 রেখা বাদে। রিমান জানত যে জিতা ফাংশনটি সমস্ত নেতিবাচক এমনকি পূর্ণসংখ্যার জন্য zero2, −4, −6,
।
(তথাকথিত তুচ্ছ জিরো) এবং এটি যে জটিল সংখ্যার সমালোচনামূলক স্ট্রিপের একটি সীমাহীন সংখ্যার শূন্য রয়েছে যেগুলি x = 0 এবং x = 1 রেখার মধ্যে কঠোরভাবে পড়েছে তিনি আরও জানতেন যে সমস্ত অনিয়ন্ত্রিত জেরো সম্মানের সাথে প্রতিসম হয় সমালোচনামূলক লাইন এক্স = 1 / 2 । রিমান অনুমান করেছিলেন যে সমস্ত ননট্রাইভাল জিরো সমালোচনামূলক লাইনে রয়েছে, এমন একটি অনুমান যা পরবর্তীতে রিমান অনুমান হিসাবে পরিচিতি লাভ করে।
1914 সালে ইংরেজ গণিতবিদ গডফ্রে হ্যারল্ড হার্ডি প্রমাণিত (গুলি) ζ সমাধান অসীম সংখ্যা = যে সমালোচনামূলক লাইন এক্স = 0 থাকবেই 1 / 2 । পরবর্তীকালে এটি বিভিন্ন গণিতবিদ দ্বারা দেখানো হয়েছিল যে সমাধানগুলির একটি বৃহত অংশ অবশ্যই সমালোচনামূলক পংক্তির উপর নির্ভর করে, যদিও সমস্ত অনাস্থার সমাধান যে ঘন ঘন "প্রমাণ" এতে ত্রুটিযুক্ত ছিল। কম্পিউটারগুলিও প্রথম 10 ট্রিলিয়ন ননট্রাইভিয়াল সলিউশনকে সমালোচনামূলক লাইনে পড়ে দেখানোর সাথে সমাধানগুলি পরীক্ষার জন্য ব্যবহৃত হয়।
রাইমন অনুমানের একটি প্রমাণ সংখ্যা তত্ত্বের জন্য এবং ক্রিপ্টোগ্রাফিতে প্রাইমগুলির ব্যবহারের সুদূরপ্রসারী পরিণতি ঘটাবে।
রিমান হাইপোথিসিস দীর্ঘকাল গণিতের সবচেয়ে বড় অমীমাংসিত সমস্যা হিসাবে বিবেচিত হয়েছে। এটি অগলিত গণিত সংক্রান্ত 10 টি সমস্যার মধ্যে একটি (মুদ্রিত ঠিকানায় 23) 8 ম আগস্ট, 1900-এ প্যারিসের দ্বিতীয় আন্তর্জাতিক গণিতের কংগ্রেসে জার্মান গণিতবিদ ডেভিড হিলবার্ট দ্বারা 20 শতকের গণিতবিদদের জন্য একটি চ্যালেঞ্জ হিসাবে উপস্থাপন করা হয়েছিল। 2000 আমেরিকান গণিতবিদ স্টিফেন একবিংশ শতাব্দীর গুরুত্বপূর্ণ সমস্যাগুলির একটি তালিকা সহ হিলবার্টের ধারণাকে আপডেট করেছেন স্যামলে; রিমান অনুমান ছিল এক নম্বরে। 2000 সালে এটি মিলেনিয়াম প্রব্লেম হিসাবে মনোনীত করা হয়েছিল, আমেরিকার কেমব্রিজ, ম্যাসা।, ক্লে ম্যাথমেটিক্স ইনস্টিটিউট দ্বারা নির্বাচিত সাতটি গাণিতিক সমস্যার মধ্যে একটি বিশেষ পুরস্কারের জন্য মনোনীত করা হয়েছিল। প্রতিটি মিলেনিয়াম সমস্যার সমাধানটির মূল্য $ 10 মিলিয়ন। ২০০৮ সালে ইউএস ডিফেন্স অ্যাডভান্সড রিসার্চ প্রজেক্টস এজেন্সি (ডিআরপিএ) এটিকে ডিআরপিএ ম্যাথমেটিক্যাল চ্যালেঞ্জগুলির মধ্যে একটি হিসাবে তালিকাভুক্ত করেছে, ২৩ টি গাণিতিক সমস্যা যার জন্য এটি তহবিলের জন্য গবেষণা প্রস্তাব চেয়েছিল - "গাণিতিক চ্যালেঞ্জ নাইনটিইন: রিমন হাইপোথেসিস সেটেল করুন। সংখ্যা তত্ত্বের পবিত্র গ্রেইল ”
