বিভাগ তত্ত্ব
গণিতে বিমূর্ততা
গণিতের বিকাশে সাম্প্রতিক এক প্রবণতা হ'ল বিমূর্তকরণের ক্রমান্বয়ে প্রক্রিয়া। নরওয়েজিয়ান গণিতবিদ নিলস হেনরিক অ্যাবেল (১৮০২-২৯) প্রমাণ করেছেন যে পঞ্চম ডিগ্রির সমীকরণগুলি সাধারণভাবে র্যাডিক্যালগুলির দ্বারা সমাধান করা যায় না। ফরাসি গণিতবিদ অ্যাভারিস্ট গ্যালোইস (1811-32) হাবিলের কাজের দ্বারা অনুপ্রাণিত হয়ে বহুবর্ষীয় সমীকরণের দ্রবণযোগ্য হওয়ার জন্য প্রয়োজনীয় শর্ত নির্ধারণের জন্য কিছু নির্দিষ্ট আদেশের সূচনা করেছিলেন। এই কংক্রিট গ্রুপগুলি শীঘ্রই বিমূর্ত গোষ্ঠীগুলির উত্থান ঘটল, যা অক্ষতভাবে বর্ণিত হয়েছিল। তারপরে অনুধাবন করা হয়েছিল যে গ্রুপগুলি অধ্যয়ন করার জন্য বিভিন্ন গোষ্ঠীর মধ্যে বিশেষত বিশেষত হোমোর্ফিজমগুলির মধ্যে যে গ্রুপ গোষ্ঠীগুলির ক্রিয়াকলাপ সংরক্ষণ করার সময় একটি গোষ্ঠীর মানচিত্র তৈরি করা হয়েছিল সেগুলির দিকে তাকাতে হবে। এইভাবে লোকেরা এখন দলগুলির কংক্রিট বিভাগ হিসাবে পরিচিত যা অধ্যয়ন করতে শুরু করে, যার বস্তুগুলি দল এবং যার তীরগুলি সমকামীয়। কংক্রিট বিভাগগুলি বিমূর্ত শ্রেণির দ্বারা প্রতিস্থাপিত হতে বেশি সময় নেয় নি, আবার অক্ষতভাবে বর্ণনা করা হয়েছে।
একটি বিভাগের গুরুত্বপূর্ণ ধারণাটি দ্বিতীয় বিশ্বযুদ্ধের শেষে স্যামুয়েল আইলেনবার্গ এবং সান্ডার্স ম্যাক লেন দ্বারা প্রবর্তন করা হয়েছিল। এই আধুনিক বিভাগগুলিকে অবশ্যই অ্যারিস্টটলের বিভাগগুলি থেকে পৃথক করা উচিত, যা বর্তমান প্রসঙ্গে ভাল প্রকারভেদ বলা হয়। কোনও বিভাগের মধ্যে কেবলমাত্র বস্তুই নয় তীরগুলিও রয়েছে (তাদের মধ্যে রূপচর্চা, রূপান্তর বা ম্যাপিং হিসাবেও পরিচিত)।
অনেকগুলি বিভাগে কিছু কাঠামো এবং তীরগুলির সাথে সমৃদ্ধ বস্তু সেট রয়েছে যা এই কাঠামোটি সংরক্ষণ করে। সুতরাং, সেটগুলির বিভাগগুলি (খালি কাঠামো সহ) এবং ম্যাপিংস, গ্রুপ এবং গ্রুপ-হোমোমর্ফিজমগুলির, রিং এবং রিং-হোমোমর্ফিজমের, ভেক্টর স্পেস এবং লিনিয়ার ট্রান্সফর্মেশনগুলির, টপোলজিকাল স্পেস এবং অবিচ্ছিন্ন ম্যাপিংস ইত্যাদির উপস্থিত রয়েছে। এমনকি আরও বিমূর্ত স্তরে উপস্থিত রয়েছে (ছোট) বিভাগ এবং ফান্ট্যাক্টারের বিভাগ, যেমন বিভাগগুলির মধ্যে মরফিজম বলা হয়, যা বস্তু এবং তীরগুলির মধ্যে সম্পর্ক সংরক্ষণ করে।
সমস্ত বিভাগ এই কংক্রিট উপায়ে দেখা যাবে না। উদাহরণস্বরূপ, একটি ডিডুকটিভ সিস্টেমের সূত্রগুলি এমন একটি বিভাগের অবজেক্ট হিসাবে দেখা যেতে পারে যার তীর f: A → B হ'ল বি থেকে বি কে বাদ দেওয়া হয় প্রকৃতপক্ষে, তাত্ত্বিক কম্পিউটার বিজ্ঞানে এই দৃষ্টিভঙ্গি গুরুত্বপূর্ণ, যেখানে সূত্রগুলি ভাবা হয় অপারেশন হিসাবে প্রকার এবং ছাড়ের হিসাবে।
আরও আনুষ্ঠানিকভাবে, একটি বিভাগ (1) এ, বি, সি, অবজেক্টের সংকলন নিয়ে গঠিত। । ।, (2) সংগ্রহে প্রতিটি অর্ডার অবজেক্টের জন্য আই আই ∶ এ → এ পরিচয় সহ রূপান্তর সম্পর্কিত একটি সংযুক্ত সংগ্রহ এবং (3) বিভাগে প্রতিটি আদেশের ত্রিগুণের জন্য রচনা সম্পর্কিত একটি সম্পর্কিত আইন যেমন f ∶ A → B এবং g ∶ B → C রচনা gf (বা g ○ f) হ'ল A থেকে C to অর্থাৎ gf ∶ A → C তে রূপান্তর, অতিরিক্তভাবে, সহযোগী আইন এবং পরিচয়গুলি ধরে রাখতে হবে (যেখানে কম্পোজিশনের সংজ্ঞায়িত করা হয়) -ie, এইচ (জিএফ) = (Hg) চ এবং 1 বি চ = F1 = চ একজন ।
এক অর্থে, বিমূর্ত শ্রেণির বস্তুর কোনও উইন্ডো নেই, লাইবনিজের মনাদের মতো। কোনও বস্তুর অভ্যন্তর নির্ধারণের জন্য এটিকে কেবল অন্য অবজেক্ট থেকে এ পর্যন্ত সমস্ত তীরগুলি দেখতে হবে উদাহরণস্বরূপ, সেটগুলির বিভাগে, সেট এ এর উপাদানগুলিকে এ-তে সেট করা একটি সাধারণ এক-উপাদান থেকে তীর দ্বারা প্রতিনিধিত্ব করা যেতে পারে A । একইভাবে, ছোট শ্রেণীর বিষয়শ্রেণীতে অন্তর্ভুক্ত, যদি 1 এক বস্তু এবং কোন nonidentity তীর সহ বিভাগ, একটি বিষয়শ্রেণীতে বস্তু একটি functors সঙ্গে চিহ্নিত করা যেতে পারে 1 → একটি । তাছাড়া, যদি 2 দুটি বস্তুর এবং এক nonidentity তীর সহ বিভাগ হল, তীর একটি functors সঙ্গে চিহ্নিত করা যেতে পারে 2 → একটি ।
আইসমোর্ফিক স্ট্রাকচার
একটি তীর f ∶ A → B কে আইসোমরফিজম বলা হয় যদি g ∶ B → A এর বিপরীতমুখী থাকে — যেমন, g ○ f = 1 A এবং f ○ g = 1 B থাকে । এটি A ≅ B লেখা হয়, এবং A এবং B কে আইসোমর্ফিক বলা হয় যার অর্থ তাদের মূলত একই কাঠামো থাকে এবং তাদের মধ্যে পার্থক্য করার দরকার নেই। গাণিতিক সত্তা বিভাগগুলির বিষয়বস্তু হওয়ায় এগুলি কেবল আইসোমরফিজম পর্যন্ত দেওয়া হয়। তাদের traditionalতিহ্যবাহী সেট-তাত্ত্বিক নির্মাণগুলি, ধারাবাহিকতা দেখানোর ক্ষেত্রে কোনও কার্যকর উদ্দেশ্যে পরিবেশন করা বাদ দিয়ে সত্যই অপ্রাসঙ্গিক।
উদাহরণস্বরূপ, পূর্ণসংখ্যার রিংয়ের স্বাভাবিক নির্মাণে, একটি পূর্ণসংখ্যাটিকে প্রাকৃতিক সংখ্যার জোড় (মি, এন) এর সমতুল্য শ্রেণি হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা হয়, যেখানে (এম, এন) যদি (এম ′, এন ′) এর সমতুল্য হয় এবং কেবলমাত্র যদি m + n ′ = m ′ + n হয়। ধারণাটি হল যে (এম, এন) এর সমতুল্য শ্রেণিটি এম - এন হিসাবে দেখা উচিত। শ্রেণিবদ্ধের কাছে যা গুরুত্বপূর্ণ তা হল, পূর্ণসংখ্যার রিং r রিং এবং হোমোমর্ফিজমের বিভাগের একটি প্রাথমিক অবজেক্ট — অর্থাৎ, প্রতিটি রিংয়ের জন্য একটি স্বতন্ত্র হোমোমর্ফিজম ℝ → ℝ ℝ ℝ এইভাবে দেখা যায়, ℤ কেবল আইসোমরফিজম পর্যন্ত দেওয়া হয়। একই চেতনায়, এটি বলা উচিত নয় যে numbers ক্ষেত্রের মধ্যে ration যুক্তিযুক্ত সংখ্যার অন্তর্ভুক্ত but তবে কেবল এই যে হোমোমর্ফিজম-→ ℚ এক-এক-এক। একইভাবে, উভয় সেট-এর সেট হিসাবে দেখানো হয় (অ্যাড ইনফিনিটাম) π এবং স্কোয়ার রুটের √ -1 এর সেট-তাত্ত্বিক ছেদটি সম্পর্কে কথা বলার কোনও মানে হয় না।
ফাউন্ডেশনে এবং অন্য কোথাও বিশেষ আগ্রহের বিষয়গুলি হ'ল ফ্যান্টেক্টর (এফ, জি) adj এগুলি দুটি বিভাগ ℬ এবং fun এর মধ্যে ফান্টেক্টারের জোড়া, যা বিপরীত দিকগুলিতে যায় যেমন তীরের সেট এফ (এ) → বি ইন ℬ এবং তীরের এ-জি (বি) এর সেটগুলির মধ্যে একের মধ্যে একটি চিঠিপত্র বিদ্যমান) ? — এ, যেমন সেটগুলি isomorphic।
